自动控制原理

PID 调节器

$$G_C(s) = K_p(1+\frac{1}{T_is}+T_ds)$$

PID 控制器的控制作用有以下几点：

1. $K_p$ 比例系数

$K_p$ 决定控制作用强弱，加大 $K_p$ 可以减少系统的稳定误差，提高系统的动态响应速度；

但 $K_p$ 过大会使动态质量变差，引起被控制量振荡，导致闭环系统不稳定

2. $K_i$ 积分系数

在比例环节的基础上加入积分环节可以消除稳态误差，因为只要有误差存在，积分所产生的控制量就会用来消除稳态误差，直到积分的值为 0；

但 $K_i$ 过大使得系统的动态过程变慢，系统超调量变大，破坏稳定性

3. $K_d$ 微分系数

微分环节与偏差的变化速度有关，能够产生超前校正的效果，有助于减少超调，克服振荡，使系统趋于稳定，加快动态响应速度，减少调整时间，改善动态性能

但 $K_d$ 过大会使得高频信号和噪声信号被放大

基于单闭环 PID 调节器的倒立摆控制

Simulink 仿真结构图：

但此时只能控制倒立摆的摆角，无法控制其位置，小车会朝一个方向运动，若想要控制电机位置，使得倒立摆系统稳定在固定位置附近，还需要设计位置 PID 控制回路

基于双闭环 PID 调节器的倒立摆控制

Simulink 仿真结构图：

其中：

$$\frac{num(s)}{den(s)}=\frac{6.818s^2}{s^2-66.88}$$

描述了位置与摆角之间的传递函数，通过调节参数，最终本小组得到了一个比较理想的输出摆角和位置曲线

超前校正

增加系统开环增益 → 提高系统的动态响应速度

原因：开环增益提高 → 系统开环频率特性剪切频率变大 → 系统带宽增大 → 响应速度高，但是仅仅增加增益会使得相位裕度减小（因为 $\omega_c$ 变大了，而一般情况下的相角都是单调递减的，相位裕度在 $\omega_c$ 处取得，故此时的 $\omega_c 变大会使相位裕度减小），使系统稳定性下降

剪切频率 $\omega_c$ 满足 $\omega_c < \omega_g$ 时，系统稳定。（其中 $\omega_g$ 为相角变化到 0 时对应的频率。）

所以需要预先在剪切频率附近和比它还要高的范围内使得相位提前一些，使得相位裕度增大，再增加增益就不会损害稳定性，此谓超前校正

超前校正传递函数：

$$G(s)=\alpha \frac{(Ts+1)}{(\alpha Ts+1)}, \alpha <1$$

此时其相频特性：

$$\angle G_c(j\omega ) = arctanT\omega - arctan\alpha T\omega >0$$

使得相角超前；根据 Nquist 图可得，此时最大相位超前角 $\varphi_m$ 满足：

$$sin\varphi_m = \frac{1-\alpha}{1+\alpha}$$

所以 $\alpha$ 减小，会使得最大相位超前角增大。而超前环节的幅值随着频率的减小而减小，故超前环节相当于高通滤波器。

滞后校正

为了减小稳态误差而采用滞后校正

系统的稳态误差取决于开环传递函数的型次和增益，要想减小稳态误差而不影响稳定性和响应快速性，只需要加大低频段增益即可。

滞后校正传递函数：

$$G(s)=\frac{(Ts+1)}{(\beta Ts+1)}, \beta >1$$

此时其相频特性：

$$\angle G_c(j\omega ) = arctanT\omega - arctan\beta T\omega <0$$

使得相角滞后。而根据波特图，滞后环节相当于低通滤波器，因为当频率高于 $1/T$ 时，增益全部下降 $20lg\beta (dB)$，而相位减小不多。如果把这段频率范围增益提高到原来的增益值，当然低频段的增益就提高了。所以相位滞后校正环节的机理并不是相位滞后，而是使得大于 $1/T$ 的高频段内的增益全部下降，并且保证在这个频段内的相位变化较小。